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الحياة الدنيا مثلها امرأة ، تراها من بعيد جمالا براقا لتكتشف أن كل شيء فيها مصطنع ... من رموش العين إلى احمرار الخدين والشفتين إلى طاقم الأسنان الناصع البياض...   (بلقسام حمدان العربي الإدريسي) . 

interaction electromagnetique avec l'atome

بواسطة: nassah  |  بتاريخ: 2012-11-19 ، الوقت: 16:36:21
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-Hamiltonien d’interaction .règles de sélection 

 

                a-champ et potentiel associés à une onde électromagnétique plane

               b-  Hamiltonien d’interaction a la limite des faibles intensités

               c-  Hamiltonien dipolaire électrique

               d-   Hamiltonien dipolaire magnétique et quadrupolaire électrique

  1. . excitation résonante. absorption et émission induit

               a- probabilité de transition associé à une onde électromagnétique.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Introduction :

         L’interaction d’un atome avec un rayon électromagnétique est un phénomène particulièrement  très important, on peut traiter ce type d’interaction par la méthode de perturbation dépendant sinusoïdalement du temps Hamiltonien d’interaction. Règle de sélection :
  1. champ et potentiel associés à une onde électromagnétique plane :

  Considérons une onde électromagnétique plane de vecteur d’onde K suivant l’axey de pulsation w=kc ; le champ électrique  E suivant l’axe   Z,  et le champ magnétique B suivant l’axe  x. on peut écrit l’expression de E et B dans la présence de potentiel vecteur A ou

A(r ,t) = A0 ez ei(ky-wt)  +  ez e-i(ky-wt) 

(1)

E(r,t)= = iwA0 ez ei(ky-wt) - iw  e ze-i(ky-wt)   

 

B(r,t) = =iK A0 ex ei(ky-wt) - iK  ex e-i(ky-wt)  

 

On considère A0  est imaginaire vaut la valeur

iwA0 =               et            iK A0 =    ⇒   =   = c

Il vient alors :

E(r,t) =  ez cos(ky-wt)

B(r,t) =  ex cos(ky-wt)

 : est l’ampétude de champ électrique

: est l’amplitude du champ magnétique

 

 

 

 

  1.  Hamiltonien d’interaction a la limite des faibles intensités :

  L’onde précédente interagit avec un électron atomique (de massem et de charge  q) situé à une distance   r  de centre de l’atome, ce dernier est lié au noyau par un potentiel V(r). L’hamiltonien  quantique de cet électron est donné par la relation suivante :

 

H=  [P-qA(R, t)]2 + V(R) – S. B(R,t)

 

 Le dernier terme représente l’interaction du moment magnétique  du spin de l’électron avec le champ magnétique B

On peut l’écrire aussi comme :

w(t) =  P.A(R, t) –  S. B(R, t)+ [A(R, t)]2

H=H0 +w(t)           Ou      

H0 =  + V(R)

                                     

        Et

H0 : est l’hamiltonien atomique

W(t) : L’hamiltonien d’intéraction avec l’onde électromagnétique ; et à la présence des sources lumineuses de faible intensité on peut négliger le dernier terme de w(t) c.à.d.

 A0<<   donc il reste uniquement

W(t) =w1(t)+w2(t)

 

Avec                    s=

                        

 =    1   ou a est le rayon de Bohr              c) Hamiltonien dipolaire électrique :    c1 – approximation dipolaire électrique. Interprétation physique A partir de la relation (1) on utilise l’expression de  A(r, t) on peut mettre  sous la forme :   =  pz [A0  eiky e-iwt  +  e-iky eiwt  ]  Développons  eiky=1 iky -  k2y2  +…. Le 3ème terme va disparaître car y est de dimension atomique  Ky     , donc en gardant le premier terme du developpement. Soit   l’hamiltonien dipolaire électrique donné par :  =  pz sin wt     est négligeable devant  on va dire que   Pour obtenir la même relation de  =-q z cos wt, il faut faire la transformation de jauge suivante :    Nous introduisons la nouvelle jauge    Dans l’approximation dipolaire électrique on remplace  Ky =0,  [sin (-wt) + sin wt] =0 On négligée les termes d’interaction magnétique lié au spin, l’hamiltonien du système  s’écrit comme : H'=  (P-q)2 + V(R) +q (R,t)     =  + V(R)+q (R,t)      H’  = H0 +w'(t)     H0 : l’hamiltonien atomique w'(t) =  -q z cos wt =             c2)  l’élément de matrice de l’hamiltonien dipolaire électrique : D’après la relation de  on peux écriver son élément de matrice entre l’état initial  et l’état final    par :    =  sin wt      Nous savons que  [Z,H0 ]  = i i    Ce qui donne  =                                                         = -( = En introduisant la pulsation de Bohr   = :   =im Et par suite :    = iq  sin (wt)         Nous avons trouvé enfin les éléments de matrice de    en fonction de  Z  C3) Règle de sélection des transitions  dipolaire électrique : Si l’élément de matrice de  entre les états    et  0  c.a.d  0  on dit que la transition →  : est dipolaire électrique   Si l’élément de matrice  = 0 il faudra pousser plus loin le développement de  est la transition correspondante soit dipolaire magnétique, soit  quadrupolaire électrique,………..etc. Les règle de sélection des transitions dipolaire électrique sont données par :   1   d) Hamiltonien dipolaire magnétique et quadrupolaire électrique            d1) termes d’ordre supérieur dans l’hamiltonien d’interaction On peut écrire l’hamiltonien d’interaction donné sous la forme W(t) =w1(t)+w2(t) =+ [ w1(t) ] + w2(t) ………………..(45) Nous avons  vu que [ w1(t)- ]   1 , il sufit de remplacer    eiky -1 =  iky ce qui donne   w1(t)-=  [ikA0  e-iwt  - ik  eiwt  ] pzy +……. On tenant compte de  iK A0 =   la relation précédente devient    w1(t)- =   Bcos (wt )  pzy Si l’on écrit pzy comme pzy = (pzy-z py) + (pzy +z py ) = Lx + (pzy+z py) On obtient finalement : w1(t)- =  LxBcos (wt ) -  Bcos (wt ) [y pz+z py] +……. (49) On a     w2(t) =   Sx Bcos (wt ) …………………. (50)   On remplaçons  (49) et( 50) dans  (45) on trouve W(t) =wDE (t) + wDM (t) + +…… L’hamiltonien dipolaire  magnétique wDM (t) =   (Lx +2 Sx  )Bcos (wt ) L’hamiltonien  quadrupolaire  électrique      =   (y pz+z py) cos (wt )                                          Avec :        B =    d 2)transitions  dipolaires magnétique On appelle une transition dipolaire magnétique les transitions induites par  wDM , (wDM c’est l’intéraction du moment magnétique totale de l’électron avec le champ d’onde électromagnétique). Pour réaliser les transitions, il suffit  que l’élément de matrice  0     Les règles de sélections de cette transition est donné par :                                                          d 3)transitions  quadrupolaires  électriques  =      =  {Y[Z,H0 ]  + Y[H0, Z ]} = (YZH0  + H0YZ )   =      YZ : est une superposition linéaire de r2(), r2() , il apparait donc dans L’élément de matrice  des intégrales angulaires  ()() Les règles de sélections de cette transition sont donné par : 2) excitation résonante. Absorption et émission induite       Equation de perturbation Le système est supposé initialement dans l’état stationnaire  l’etat propre de H0de valeur propre  , à l’intant  t=0 on applique une perturbation au système , donc l’état du système va changer à   du H0, on cherche la probabilité de trouver le système à l’instant  t Il sagit d’étudier les transitions qui peuvent induite par la perturbation w'(t)   = La probabilité s’écrit comme :  (t) = Soit l’équation de shrodinger H Ψ = E Ψ (H0 + w'(t)) Ψ =  On pose  w'(t) = λŵ(t) (H0 + λŵ(t) ) Ψ =  Avec :              : les élements de matrice de l’observable ŵ(t) dans la meme base   =  = Et utilisons la relation de ferméture :    À partir des relations (1)  ( 2)  et  ( 3) on trouve  (t) = (t) +    Lorsque  0     0 (t) =   Si    + (t)   = (t)  +     On a la pulsation de  Bohr :       Equation de perturbation   1 on fait le developement de (t) = bn0(t) + bn1(t) +  bn2(t) + …….  Pour     r=0          bn0(t) = 0 Pour   r    bk(r-1) (t)     Solution à l’ordre 1 en Etat du système à l’instant  ( t) (t=0 ) = bnr (t = 0) =0                   si             r le devellopement  de l’ordre r=1 donne (t) = bn0(t) +  bn1(t)  bn0(t) = 0 iħ bn1(t) = bk(0) (t) bn1(t) =         Application de la formule Supposons que w'(t) est l’une des formules suivantes :    =  sin  =  cos nous interéssons à la perturbation d’un système physique par une onde électromagnétique de pulsation  .  : représente la probabilité de transition induite par le rayonnement monochromatique incident entre l’état initial   et l’état final  Les éléments de matrice de  se mettent sous la forme :  =  sin  =  ( 
le vecteur d’état du système  à l’ordre 1 en   donne :


                      =  la probabilité de transition induite par le rayonnement monochromatique incident  est :  = =   Si w'(t) a la forme  =  cos , la probabilité de transition induite par le rayonnement   monochromatique incident est :  =     Perturbation sinusoidale Probleme de transition Supposons que l’atome est irradier  par  une  onde électromagnétique  donner par la forme suivante : w(t)=w sin wt  =   Pour (t) fixe on pose
  • =       =     -i 
   et  A+ =  = -i               =   Pour t = cte   1)     absorption  car  qui va dominer  =                  =       2)        

émission induite (stimulé) car le terme  qui  va dominer

∆w2wfi             BIBLIOGRAPHIE Cohen tanoudji:tome 2 PDF: http://www.lps.umontreal.ca/_london/london.html
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